Задача №1783
Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\).
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя признак сравнения в предельной форме:
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\). Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:
Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\) сходится условно.
Ряд сходится условно.