2790-1
Информация о задаче
Задача №2790 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}[/math].
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}[/math]. Сравним данный ряд с гармоническим рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{2n-1}} =\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right) =2. [/dmath]
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}[/math]. Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n-1}=0;\;\frac{1}{2n-1}\gt\frac{1}{2(n+1)-1}. [/dmath]
Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}[/math] сходится условно.
Ответ
Ряд сходится условно.
