2789-1

Информация о задаче

Задача №2789 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать соотношение [math]\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0[/math] с помощью ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}[/math].

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}[/math]. Применим радикальный признак Коши:

[math] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n} [/math]

Применим к ряду [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}[/math] признак Д'Аламбера:

[math] \lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}\right) \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} =\frac{1}{e}. [/math]

Так как [math]\frac{1}{e}<1[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}[/math] сходится, поэтому [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0[/math]. Следовательно, [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=0[/math], т.е. ряд [math]\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0[/math] сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}[/math].

Ответ

Равенство [math]\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0[/math] доказано.