Задача №1782
Условие
Доказать соотношение \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0\) с помощью ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}\).
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}\). Применим радикальный признак Коши:
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}
\]
Применим к ряду \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\) признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}\right)
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}
=\frac{1}{e}.
\]
Так как \(\frac{1}{e}\lt{1}\), то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\) сходится, поэтому \(\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0\). Следовательно, \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=0\), т.е. ряд \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}\).
Ответ:
Равенство \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0\) доказано.