Задача №1782
Доказать соотношение \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0\) с помощью ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}\).
Общий член ряда: \(u_n=\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}\). Применим радикальный признак Коши:
Применим к ряду \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\) признак Д'Аламбера:
Так как \(\frac{1}{e}\lt{1}\), то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\) сходится, поэтому \(\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0\). Следовательно, \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=0\), т.е. ряд \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}\).
Равенство \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^n}{n^{n^2}}=0\) доказано.