Задача №1781
Условие
Доказать соотношение \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0\) с помощью ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}\).
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{n^n}{(n!)^2}\). Применим признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2}\cdot\frac{(n!)^2}{n^n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)
=0\cdot{e}
=0.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0\).
Ответ:
Равенство \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0\) доказано.