2788-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2788 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать соотношение [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0[/math] с помощью ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}[/math].

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{n^n}{(n!)^2}[/math]. Применим признак Д'Аламбера:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2}\cdot\frac{(n!)^2}{n^n}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) =0\cdot{e} =0. [/math]


Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}[/math] сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0[/math].

Ответ

Равенство [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2}=0[/math] доказано.