Задача №1780
Условие
Доказать соотношение \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0\) с помощью ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!}\).
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{n^n}{(2n)!}\). Применим признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n^n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4n+2}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)
=0\cdot{e}
=0.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0\).
Ответ:
Равенство \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0\) доказано.