2787-1
Информация о задаче
Задача №2787 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Доказать соотношение [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0[/math] с помощью ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!}[/math].
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{n^n}{(2n)!}[/math]. Применим признак Д'Аламбера:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n^n}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4n+2}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) =0\cdot{e} =0. [/dmath]
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!}[/math] сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0[/math].
Ответ
Равенство [math]\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0[/math] доказано.
