Задача №1779

Общий член ряда: \(u_n=\frac{(2n)!}{a^{n!}}\). Применим признак Д'Аламбера:

Рассмотрим вспомогательный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}\).

Исследуем сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{a^n}\) с помощью признака Д'Аламбера:

Так как \(a\gt{1}\), то \(\frac{1}{a}\lt{1}\). Вывод: ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{a^n}\) сходится. Следовательно, будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{12n^2}{a^n}\), поэтому согласно признаку сравнения ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}\) сходится. Из сходимости данного ряда имеем \(\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}=0\), поэтому для исходного ряда имеем \(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0\). Это означает, что ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}=0\).