2786-1
Информация о задаче
Задача №2786 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Доказать соотношение [math]\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}=0[/math] ([math]a>0[/math]) с помощью ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}[/math].
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{(2n)!}{a^{n!}}[/math]. Применим признак Д'Аламбера:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n+2)!}{a^{(n+1)!}}\cdot\frac{a^{n!}}{(2n)!}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}} [/dmath]
Рассмотрим вспомогательный ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}[/math].
[dmath] \frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}} \le\frac{(2n+n)(2n+2n)}{a^{n!\cdot{n}}} \le\frac{12n^2}{a^n} [/dmath]
Исследуем сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{a^n}[/math] с помощью признака Д'Аламбера:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^2}{a^{n+1}}\cdot\frac{a^n}{n^2}\right) =\frac{1}{a}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{a}. [/dmath]
Так как [math]a\gt{1}[/math], то [math]\frac{1}{a}\lt{1}[/math]. Вывод: ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{a^n}[/math] сходится. Следовательно, будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{12n^2}{a^n}[/math], поэтому согласно признаку сравнения ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}[/math] сходится. Из сходимости данного ряда имеем [math]\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)(2n+2)}{a^{n!\cdot{n}}}=0[/math], поэтому для исходного ряда имеем [math]\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0[/math]. Это означает, что ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}[/math] сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. [math]\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}=0[/math].
Ответ
Равенство [math]\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{a^{n!}}=0[/math] доказано.
