2785-1
Информация о задаче
Задача №2785 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Доказать соотношение [math]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/math] с помощью ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}[/math].
Решение
Знак [math]a[/math] в условии не оговорен. Если [math]a=0[/math], то равенство [math]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/math] очевидно. Пусть [math]a\neq{0}[/math]. Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{a^n}{n!}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|a|^n}{n!}[/math]. Разумеется, что при [math]a\gt{0}[/math] ряд из модулей будет совпадать с исходным рядом. Применим признак Д'Аламбера:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{|a|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|a|^n}{n!}} =\lim_{n\to\infty}\frac{|a|}{n+1} =0. [/dmath]
Ряд из модулей сходится. Это означает сходимость исходного ряда (при [math]a\gt{0}[/math]) или абсолютную сходимость исходного ряда (при [math]a\lt{0}[/math]). Так как ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}[/math] сходится, то для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. [math]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/math].
Ответ
Равенство [math]\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/math] доказано.
