Задача №1778

Знак \(a\) в условии не оговорен. Если \(a=0\), то равенство \(\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\) очевидно. Пусть \(a\neq{0}\). Рассмотрим ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{a^n}{n!}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|a|^n}{n!}\). Разумеется, что при \(a\gt{0}\) ряд из модулей будет совпадать с исходным рядом. Применим признак Д'Аламбера:

Ряд из модулей сходится. Это означает сходимость исходного ряда (при \(a\gt{0}\)) или абсолютную сходимость исходного ряда (при \(a\lt{0}\)). Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\) сходится, то для него выполнено необходимое условие сходимости, т.е. \(\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\).