2784-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2784 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\frac{\pi}{2n}[/math].

Решение

Так как [math]0<\frac{\pi}{2n}≤\frac{\pi}{2}[/math], то данный ряд знакоположительный. Сравним данный ряд с гармоническим рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}}\right) =\frac{\pi}{2}. [/math]

Согласно признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость заданного ряда.

Ответ

Ряд расходится.