2783-1

Информация о задаче

Задача №2783 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}[/math].

Решение

Применим признак Д'Аламбера.

[math] u_n=\frac{n!}{n^n};\; u_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1)^n}. [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{(n+1)^n}\cdot\frac{n^n}{n!}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} =\frac{1}{e}. [/math]

Так как [math]\frac{1}{e}<1[/math], то ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.