2782-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2782 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n\cdot{2^n}}[/math].

Решение

Применим признак Д'Аламбера.

[dmath] u_n=\frac{3^n}{n\cdot{2^n}};\; u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)\cdot{2^{n+1}}}. [/dmath]

[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3^{n+1}}{(n+1)\cdot{2^{n+1}}}\cdot\frac{n\cdot{2^n}}{3^n}\right) =\frac{3}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\frac{3}{2}. [/dmath]

Так как [math]\frac{3}{2}\gt{1}[/math], то ряд расходится.

Ответ

Ряд расходится.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).