Задача №1772
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arctg^n\frac{1}{n}\).
Решение
Применим радикальный признак Коши. Общий член ряда: \(u_n=\arctg^n\frac{1}{n}\).
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\arctg^n\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\arctg\frac{1}{n}
=0.
\]
Так как \(0\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.