Задача №1770
Условие
Исследовать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{1+n^2}\).
Решение
Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\):
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{n}{1+n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)
=1.
\]
Согласно признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость заданного ряда.
Ответ:
ряд расходится.