2770-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2770 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Решить вопрос о сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}[/math] с помощью интегрального признака Коши.

Решение

Покажем убывание функции [math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\frac{x+1}{x-1}[/math]. Находить производную [math]f'(x)[/math] и выяснять её знак несколько затруднительно, поэтому пойдём иным путём. Запишем функцию в форме [math]f(x)=\frac{y(x)}{g(x)}[/math], где [math]y(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}[/math], [math]g(x)=\sqrt{x}[/math]. Все рассуждения ведём при [math]x≥2[/math]. Так как [math]\frac{x+1}{x-1}>1[/math], то [math]y(x)>0[/math]. Так как [math]y'(x)=-\frac{2}{x^2-1}<0[/math], то функция [math]y(x)[/math] убывает. С учётом возрастания функции [math]g(x)[/math], убывания функции [math]y(x)[/math] и положительности обеих функций [math]y(x)[/math] и [math]g(x)[/math] получим:

[math] f(x+\Delta{x}) =\frac{y(x+\Delta{x})}{g(x+\Delta{x})} <\frac{y(x)}{g(x+\Delta{x})} <\frac{y(x)}{g(x)} =f(x);\; f(x+\Delta{x})<f(x). [/math]

Функция [math]f(x)[/math] убывает. Рассмотрим вспомогательный интеграл [math]\int\limits_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}[/math]:

[math] \int\limits_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}} =\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{2}^{b}x^{-\frac{3}{2}}dx =\lim_{b\to+\infty}\left.\left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\right|_{2}^{b} =\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{2}{\sqrt{b}}+\sqrt{2}\right) =\sqrt{2}. [/math]

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\frac{x+1}{x-1}}{\frac{1}{x\sqrt{x}}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x-1}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{x-1} =2. [/math]

Из сходимости вспомогательного интеграла и конечности рассмотренного выше предела следует сходимость интеграла [math]\int\limits_{2}^{\infty}f(x)dx[/math]. Следовательно, заданный ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.