Задача №1763
Решить вопрос о сходимости ряда \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}\) с помощью интегрального признака Коши.
Покажем убывание функции \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\frac{x+1}{x-1}\). Находить производную \(f'(x)\) и выяснять её знак несколько затруднительно, поэтому пойдём иным путём. Запишем функцию в форме \(f(x)=\frac{y(x)}{g(x)}\), где \(y(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}\), \(g(x)=\sqrt{x}\). Все рассуждения ведём при \(x\ge{2}\).
Так как \(\frac{x+1}{x-1}\gt{1}\), то \(y(x)\gt{0}\). Так как \(y'(x)=-\frac{2}{x^2-1}\lt{0}\), то функция \(y(x)\) убывает. С учётом возрастания функции \(g(x)\), убывания функции \(y(x)\) и положительности обеих функций \(y(x)\) и \(g(x)\) получим:
Функция \(f(x)\) убывает. Рассмотрим вспомогательный интеграл \(\int\limits_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}\):
Из сходимости вспомогательного интеграла и конечности рассмотренного выше предела следует сходимость интеграла \(\int\limits_{2}^{\infty}f(x)dx\). Следовательно, заданный ряд сходится.