Задача №1762
Решить вопрос о сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n}{1+n^2}\right)^2\) с помощью интегрального признака Коши.
В предыдущих примерах на интегральный признак Коши убывание подынтегральной функции было очевидным. Чтобы при \(x\ge{1}\) показать убывание функции \(f(x)=\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2\) достаточно указать, что \(f'(x)=-2\cdot\frac{x^3+3x^2+x-1}{\left(x^2+1\right)^3}\lt{0}\).
Рассмотрим вспомогательный интеграл \(\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}\):
Так как \(\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2\lt\left(\frac{x+x}{x^2}\right)^2=\frac{4}{x^2}\) и \(\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}\) сходится, то будет сходиться и интеграл \(\int\limits_{1}^{\infty}\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2dx\). Следовательно, заданный ряд сходится.