2769-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2769 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Решить вопрос о сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n}{1+n^2}\right)^2[/math] с помощью интегрального признака Коши.

Решение

В предыдущих примерах на интегральный признак Коши убывание подынтегральной функции было очевидным. Чтобы при [math]x≥1[/math] показать убывание функции [math]f(x)=\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2[/math] достаточно указать, что [math]f'(x)=-2\cdot\frac{x^3+3x^2+x-1}{\left(x^2+1\right)^3}<0[/math]. Рассмотрим вспомогательный интеграл [math]\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}[/math]:

[math] \int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2} =\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{1}^{b}x^{-2}dx =\lim_{b\to+\infty}\left.\left(-\frac{1}{x}\right)\right|_{1}^{b} =\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{b}+1\right) =1. [/math]

Так как [math]\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2<\left(\frac{x+x}{x^2}\right)^2=\frac{4}{x^2}[/math] и [math]\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2}[/math] сходится, то будет сходиться и интеграл [math]\int\limits_{1}^{\infty}\left(\frac{1+x}{1+x^2}\right)^2dx[/math]. Следовательно, заданный ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.