Задача №1761
Условие
Решить вопрос о сходимости ряда \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln{n}}\) с помощью интегрального признака Коши.
Решение
\[
\int\limits_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln{x}}
=\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{2}^{b}\frac{d(\ln{x})}{\ln{x}}=\\
=\lim_{b\to+\infty}\left.\left(\ln|\ln{x}|\right)\right|_{2}^{b}
=\lim_{b\to+\infty}\left(\ln|\ln{b}|-\ln\ln{2}\right)
=+\infty.
\]
Интеграл расходится, поэтому будет расходиться и заданный ряд.
Ответ:
ряд расходится.