2767-1

Информация о задаче

Задача №2767 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Решить вопрос о сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}[/math] с помощью интегрального признака Коши.

Решение

[dmath] \int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)\ln^2(x+1)} =\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{1}^{b}\frac{d(\ln(x+1))}{\ln^2(x+1)}=\\ =\lim_{b\to+\infty}\left.\left(-\frac{1}{\ln(x+1)}\right)\right|_{1}^{b} =\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{\ln(b+1)}+\frac{1}{\ln{2}}\right) =\frac{1}{\ln{2}}. [/dmath]

Интеграл сходится, поэтому будет сходиться и заданный ряд.

Ответ

Ряд сходится.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).