2766-1

Информация о задаче

Задача №2766 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}{3^n}[/math] с помощью радикального признака Коши.

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}{3^n}[/math].

[math] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}}{3^n}} =\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =\frac{e}{3}. [/math]

Так как [math]\frac{e}{3}<1[/math], то ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.