2764-1

Информация о задаче

Задача №2764 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n[/math] с помощью радикального признака Коши.

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n[/math].

[dmath] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} =\frac{1}{2}. [/dmath]

Так как [math]\frac{1}{2}\lt{1}[/math], то ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).