Задача №1757
Условие
Доказать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n\) с помощью радикального признака Коши.
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n\).
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}
=\frac{1}{2}.
\]
Так как \(\frac{1}{2}\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится