Задача №1756
Условие
Доказать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln^n(n+1)}\) с помощью радикального признака Коши.
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{1}{\ln^n(n+1)}\).
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\ln^n(n+1)}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}
=0.
\]
Так как \(0\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.