2762-1

Информация о задаче

Задача №2762 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{2^n\cdot{n!}}[/math] с помощью признака Д'Аламбера.

Решение

[math] u_n=\frac{(n+1)!}{2^n\cdot{n!}}=\frac{n+1}{2^n};\; u_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+1}}. [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n+1}\right) =\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1} =\frac{1}{2}. [/math]

Так как [math]\frac{1}{2}<1[/math], то ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится