2762-1
Реклама
Материал из Решебника
Информация о задаче
Задача №2762 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{2^n\cdot{n!}}[/math] с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
[dmath] u_n=\frac{(n+1)!}{2^n\cdot{n!}}=\frac{n+1}{2^n};\; u_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+1}}. [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n+1}\right) =\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1} =\frac{1}{2}. [/dmath]
Так как [math]\frac{1}{2}\lt{1}[/math], то ряд сходится.
Ответ
Ряд сходится
Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).