2761-1

Информация о задаче

Задача №2761 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}[/math] с помощью признака Д'Аламбера.

Решение

[math] u_n=\frac{n}{(n+1)!};\; u_{n+1}=\frac{n+1}{(n+2)!}. [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{n}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n(n+2)} =0. [/math]

Так как [math]0<1[/math], то ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.