Задача №1754
Условие
Доказать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=\frac{n}{(n+1)!};\; u_{n+1}=\frac{n+1}{(n+2)!}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}
=0.
\]
Так как \(0\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.