2760-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2760 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(n^2\sin\frac{\pi}{2^n}\right)[/math] с помощью признака Д'Аламбера.

Решение

[math] u_n=n^2\sin\frac{\pi}{2^n};\; u_{n+1}=(n+1)^2\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}. [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin\frac{\pi}{2^n}}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{\frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}{\frac{2\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}}\right) =\frac{1}{2}. [/math]

Так как [math]\frac{1}{2}<1[/math], то ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.