2759-1
Информация о задаче
Задача №2759 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{3^n\cdot{n!}}[/math] с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
[dmath] u_n=\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{3^n\cdot{n!}};\; u_{n+1}=\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3^{n+1}\cdot{(n+1)!}} [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3^{n+1}\cdot{(n+1)!}}\cdot\frac{3^n\cdot{n!}}{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3(n+1)} =\frac{2}{3}. [/dmath]
Так как [math]\frac{2}{3}\lt{1}[/math], то ряд сходится.
Ответ
Ряд сходится.
