Задача №1752
Условие
Доказать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{3^n\cdot{n!}}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{3^n\cdot{n!}};\;
u_{n+1}=\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3^{n+1}\cdot{(n+1)!}}
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3^{n+1}\cdot{(n+1)!}}\cdot\frac{3^n\cdot{n!}}{1\cdot{3}\cdot\ldots\cdot(2n-1)}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3(n+1)}
=\frac{2}{3}.
\]
Так как \(\frac{2}{3}\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.