2757-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2757 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(4n-3)}[/math] с помощью признака Д'Аламбера.

Решение

[dmath] u_n=\frac{2\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(4n-3)};\; u_{n+1}=\frac{2\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(3n-1)\cdot(3n+2)}{1\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(4n-3)\cdot(4n+1)}=u_n\cdot\frac{3n+2}{4n+1}. [/dmath]

[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{u_n\cdot\frac{3n+2}{4n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{4n+1} =\frac{3}{4}. [/dmath]

Так как [math]\frac{3}{4}\lt{1}[/math], то ряд сходится.

Ответ

Ряд сходится.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).