Задача №1750
Условие
Доказать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(4n-3)}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=\frac{2\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(4n-3)};\;
u_{n+1}=\frac{2\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(3n-1)\cdot(3n+2)}{1\cdot{5}\cdot\ldots\cdot(4n-3)\cdot(4n+1)}=u_n\cdot\frac{3n+2}{4n+1}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{u_n\cdot\frac{3n+2}{4n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{4n+1}
=\frac{3}{4}.
\]
Так как \(\frac{3}{4}\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.