Задача №1748
Условие
Доказать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=\frac{n}{2^n};\; u_{n+1}=\frac{n+1}{2^{n+1}}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n}\right)
=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Так как \(\frac{1}{2}\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится