Задача №1747
Условие
Доказать сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)!}\) с помощью признака Д'Аламбера.
Решение
\[
u_n=\frac{1}{(2n+1)!};\; u_{n+1}=\frac{1}{(2(n+1)+1)!}=\frac{1}{(2n+3)!}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}
=0.
\]
Так как \(0\lt{1}\), то ряд сходится.
Ответ:
ряд сходится.