2753-1
Информация о задаче
Задача №2753 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)[/math].
Решение
Сравним данный ряд с гармоническим рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\right)\left(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}\right)}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}} =1. [/dmath]
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и заданный ряд.
Ответ
Ряд расходится.
