2752-1
Информация о задаче
Задача №2752 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)[/math].
Решение
Сравним данный ряд с рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{n\sqrt{n}}}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}})} =1. [/dmath]
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/math] сходится (так как степень [math]\frac{3}{2}\gt{1}[/math]), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)[/math].
Ответ
Ряд сходится
