Задача №1745
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)\).
Решение
Сравним данный ряд с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{n\sqrt{n}}}=\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}
=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}})}
=1.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\) сходится (так как степень \(\frac{3}{2}\gt{1}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)\).
Ответ:
ряд сходится