Задача №1744
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{n^4+1}}\).
Решение
Сравним данный ряд с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{n^4+1}}}{\frac{1}{n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n^4}{n^4+1}}
=1.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится (так как степень \(2\gt{1}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{n^4+1}}\).
Ответ:
ряд сходится