Задача №1743
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\).
Решение
Данный ряд знакоположительный. Сравним данный ряд с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\cdot\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}
=\frac{1}{2}.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\) расходится (так как степень \(\frac{1}{2}\le{1}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\).
Ответ:
ряд расходится.