2750-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2750 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)[/math].

Решение

Данный ряд знакоположительный. Сравним данный ряд с рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\cdot\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n}}} =\frac{1}{2}. [/math]

Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}[/math] расходится (так как степень [math]\frac{1}{2}≤1[/math]), поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)[/math].

Ответ

Ряд расходится.