Задача №1742

Обозначим \(n_0=8^{16}\). Рассмотрим функцию \(f(x)=x^{\frac{1}{8}}-\ln{x}\) при условии \(x\ge{n_0}\). Так как \(f'(x)=\frac{x^{\frac{1}{8}}-8}{8x}\gt{0}\) и \(f(n_0)=64-48\ln{2}\gt{0}\), то при \(x\ge{n_0}\) верно неравенство \(f(x)\gt{0}\). Иными словами, при всех \(x\ge{n_0}\) имеем \(x^{\frac{1}{8}}\gt\ln{x}\). Это означает, что при \(n\ge{n_0}\) верно неравенство \(n^{\frac{1}{8}}\gt\ln{n}\).

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}\) сходится (так как степень \(\frac{9}{8}\gt{1}\)), поэтому будет сходиться и его остаток \(\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}\). Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться ряд \(\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}\), который является остатком ряда, заданного в условии. Из сходимости остатка \(\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}\) следует сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}\).