2749-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2749 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math].

Решение

Обозначим [math]n_0=8^{16}[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(x)=x^{\frac{1}{8}}-\ln{x}[/math] при условии [math]x\ge{n_0}[/math]. Так как [math]f'(x)=\frac{x^{\frac{1}{8}}-8}{8x}\gt{0}[/math] и [math]f(n_0)=64-48\ln{2}\gt{0}[/math], то при [math]x\ge{n_0}[/math] верно неравенство [math]f(x)\gt{0}[/math]. Иными словами, при всех [math]x\ge{n_0}[/math] имеем [math]x^{\frac{1}{8}}\gt\ln{x}[/math]. Это означает, что при [math]n\ge{n_0}[/math] верно неравенство [math]n^{\frac{1}{8}}\gt\ln{n}[/math].

[dmath] \frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}\lt\frac{n^{\frac{1}{8}}}{\sqrt[4]{n^5}}=\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}} [/dmath]


Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}[/math] сходится (так как степень [math]\frac{9}{8}\gt{1}[/math]), поэтому будет сходиться и его остаток [math]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}[/math]. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться ряд [math]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math], который является остатком ряда, заданного в условии. Из сходимости остатка [math]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math] следует сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math].

Ответ

Ряд сходится.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Отблагодарить автора и помочь проекту "Решебник" можно тут: Собранные средства расходуются на поддержание работы сайта (доменное имя, хостинг и т.д.).