2749-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2749 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math].

Решение

Обозначим [math]n_0=8^{16}[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(x)=x^{\frac{1}{8}}-\ln{x}[/math] при условии [math]x≥n_0[/math]. Так как [math]f'(x)=\frac{x^{\frac{1}{8}}-8}{8x}>0[/math] и [math]f(n_0)=64-48\ln{2}>0[/math], то при [math]x≥n_0[/math] верно неравенство [math]f(x)>0[/math]. Иными словами, при всех [math]x≥n_0[/math] имеем [math]x^{\frac{1}{8}}>\ln{x}[/math]. Это означает, что при [math]n≥n_0[/math] верно неравенство [math]n^{\frac{1}{8}}>\ln{n}[/math].

[math] \frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}<\frac{n^{\frac{1}{8}}}{\sqrt[4]{n^5}}=\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}} [/math]


Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}[/math] сходится (так как степень [math]\frac{9}{8}>1[/math]), поэтому будет сходиться и его остаток [math]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{9}{8}}}[/math]. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться ряд [math]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math], который является остатком ряда, заданного в условии. Из сходимости остатка [math]\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math] следует сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{\sqrt[4]{n^5}}[/math].

Ответ

Ряд сходится.