Задача №1741
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}\).
Решение
Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2n}}
=1.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}\).
Ответ:
ряд расходится.