2747-1

Информация о задаче

Задача №2747 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2[/math].

Решение

Сравним данный ряд с рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2}{\frac{1}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+n^3}{1+n^3}\right)^2 =1. [/math]

Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится (так как степень [math]2>1[/math]), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2[/math].

Ответ

Ряд сходится.