Задача №1740
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2\).
Решение
Сравним данный ряд с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2}{\frac{1}{n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+n^3}{1+n^3}\right)^2
=1.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится (так как степень \(2\gt{1}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2\).
Ответ:
ряд сходится.