Задача №1739
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}\).
Решение
Данный ряд знакоположительный так как \(n^2-4n+5=(n-2)^2+1\gt{0}\). Сравним данный ряд с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2-4n+5}}{\frac{1}{n^2}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-4n+5}
=1.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится (так как степень \(2\gt{1}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}\).
Ответ:
ряд сходится.