2746-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2746 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}[/math].

Решение

Данный ряд знакоположительный так как [math]n^2-4n+5=(n-2)^2+1>0[/math]. Сравним данный ряд с рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2-4n+5}}{\frac{1}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-4n+5} =1. [/math]

Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится (так как степень [math]2>1[/math]), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}[/math].

Ответ

Ряд сходится.