2746-1
Информация о задаче
Задача №2746 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}[/math].
Решение
Данный ряд знакоположительный так как [math]n^2-4n+5=(n-2)^2+1\gt{0}[/math]. Сравним данный ряд с рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2-4n+5}}{\frac{1}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-4n+5} =1. [/dmath]
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится (так как степень [math]2\gt{1}[/math]), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5}[/math].
Ответ
Ряд сходится.
