2745-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2745 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\frac{1}{\ln{2}}+\frac{1}{\ln{3}}+\ldots+\frac{1}{\ln(n+1)}+\ldots[/math].

Решение

Рассмотрим функцию [math]f(x)=x-\ln(x+1)[/math] при условии [math]x≥1[/math]. Так как [math]f'(x)=\frac{x}{x+1}>0[/math] и [math]f(1)=1-\ln{2}>0[/math], то при [math]x≥1[/math] верно неравенство [math]f(x)>0[/math]. Иными словами, при всех [math]x≥1[/math] имеем [math]x>\ln(x+1)[/math]. Это означает, что при [math]n\in{N}[/math] верно неравенство [math]n>\ln(n+1)[/math]. Следовательно, [math]\frac{1}{n}<\frac{1}{\ln(n+1)}[/math].


Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}[/math].

Ответ

Ряд расходится.