Задача №1738
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\frac{1}{\ln{2}}+\frac{1}{\ln{3}}+\ldots+\frac{1}{\ln(n+1)}+\ldots\).
Решение
Рассмотрим функцию \(f(x)=x-\ln(x+1)\) при условии \(x\ge{1}\). Так как \(f'(x)=\frac{x}{x+1}\gt{0}\) и \(f(1)=1-\ln{2}\gt{0}\), то при \(x\ge{1}\) верно неравенство \(f(x)\gt{0}\). Иными словами, при всех \(x\ge{1}\) имеем \(x\gt\ln(x+1)\). Это означает, что при \(n\in{N}\) верно неравенство \(n\gt\ln(n+1)\). Следовательно, \(\frac{1}{n}\lt\frac{1}{\ln(n+1)}\).
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}\).
Ответ:
ряд расходится.