Задача №1735
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\tg\frac{\pi}{4}+\tg\frac{\pi}{8}+\ldots+\tg\frac{\pi}{4n}+\ldots\).
Решение
Так как \(0\lt\frac{\pi}{4n}\le\frac{\pi}{4}\), то \(\tg\frac{\pi}{4n}\gt{0}\), т.е. заданный ряд знакоположительный. Общий член ряда: \(u_n=\tg\frac{\pi}{4n}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\tg\frac{\pi}{4n}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\tg\frac{\pi}{4n}}{\frac{\pi}{4n}}\right)
=\frac{\pi}{4}.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\tg\frac{\pi}{4n}\).
Ответ:
ряд расходится.