Задача №1735
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\tg\frac{\pi}{4}+\tg\frac{\pi}{8}+\ldots+\tg\frac{\pi}{4n}+\ldots\).
Так как \(0\lt\frac{\pi}{4n}\le\frac{\pi}{4}\), то \(\tg\frac{\pi}{4n}\gt{0}\), т.е. заданный ряд знакоположительный. Общий член ряда: \(u_n=\tg\frac{\pi}{4n}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя признак сравнения в предельной форме:
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\tg\frac{\pi}{4n}\).