2742-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2742 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\tg\frac{\pi}{4}+\tg\frac{\pi}{8}+\ldots+\tg\frac{\pi}{4n}+\ldots[/math].

Решение

Так как [math]0<\frac{\pi}{4n}≤\frac{\pi}{4}[/math], то [math]\tg\frac{\pi}{4n}>0[/math], т.е. заданный ряд знакоположительный. Общий член ряда: [math]u_n=\tg\frac{\pi}{4n}[/math]. Сравним данный ряд с гармоническим рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\tg\frac{\pi}{4n}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\tg\frac{\pi}{4n}}{\frac{\pi}{4n}}\right) =\frac{\pi}{4}. [/math]

Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\tg\frac{\pi}{4n}[/math].

Ответ

Ряд расходится.