Задача №1734
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\frac{2}{3}+\frac{3}{8}+\ldots+\frac{n+1}{(n+2)n}+\ldots\).
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{n+1}{(n+2)n}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{(n+2)n}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}
=1.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{(n+2)n}\).
Ответ:
ряд расходится