2739-1
Информация о задаче
Задача №2739 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]1+\frac{1+2}{1+2^2}+\ldots+\frac{1+n}{1+n^2}+\ldots[/math].
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1+n}{1+n^2}[/math]. Сравним данный ряд с гармоническим рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1+n}{1+n^2}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{1+n^2} =1. [/dmath]
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{1+n^2}[/math].
Ответ
Ряд расходится.
