Задача №1732
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(1+\frac{1+2}{1+2^2}+\ldots+\frac{1+n}{1+n^2}+\ldots\).
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{1+n}{1+n^2}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1+n}{1+n^2}}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{1+n^2}
=1.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{1+n^2}\).
Ответ:
ряд расходится.