Задача №1731
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\sin\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{4}+\ldots+\sin\frac{\pi}{2^n}+\ldots\).
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\sin\frac{\pi}{2^n}\). Так как \(0\lt\frac{\pi}{2^n}\le\frac{\pi}{2}\), то \(u_n\gt{0}\). Сравним данный ряд с сходящимся рядом \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}
=\lim_{n\to\infty}\left(\pi\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}\right)
=\pi.
\]
Ряд \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n}\) сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{k=1}^{n}\sin\frac{\pi}{2^n}\).
Ответ:
ряд сходится.