2738-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2738 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\sin\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{4}+\ldots+\sin\frac{\pi}{2^n}+\ldots[/math].

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\sin\frac{\pi}{2^n}[/math]. Так как [math]0<\frac{\pi}{2^n}≤\frac{\pi}{2}[/math], то [math]u_n>0[/math]. Сравним данный ряд с сходящимся рядом [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{2^n}} =\lim_{n\to\infty}\left(\pi\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}\right) =\pi. [/math]

Ряд [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^n}[/math] сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\sin\frac{\pi}{2^n}[/math].

Ответ

Ряд сходится.