2737-1
Информация о задаче
Задача №2737 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда [math]\frac{1}{1\cdot{2}}+\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}+\ldots[/math].
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}[/math]. Так как [math]2n-1\ge{1}[/math] и [math]2^{2n-1}\ge{2^n}[/math], то получим:
[dmath] \frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}} \le \frac{1}{2^n} [/dmath]
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}[/math] сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}[/math].
Ответ
Ряд сходится
