Задача №1730
Условие
С помощью признаков сравнения решить вопрос сходимости ряда \(\frac{1}{1\cdot{2}}+\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}+\ldots\).
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}\). Так как \(2n-1\ge{1}\) и \(2^{2n-1}\ge{2^n}\), то получим:
\[
\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}} \le \frac{1}{2^n}
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)\cdot{2^{2n-1}}}\).
Ответ:
ряд сходится