2736-1
Информация о задаче
Задача №2736 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}+\ldots+\arctg\frac{1}{2n^2}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Попробуем найти закономерность для частичной суммы ряда. Используем формулу [math]\arctg{x}+\arctg{y}=\arctg\frac{x+y}{1-xy}[/math].
[dmath] \begin{aligned} & S_1=\arctg\frac{1}{2};\\ & S_2=S_1+\arctg\frac{1}{8}=\arctg\frac{1}{2}+\arctg\frac{1}{8}=\arctg\frac{2}{3};\\ & S_3=S_2+\arctg\frac{1}{18}=\arctg\frac{2}{3}+\arctg\frac{1}{18}=\arctg\frac{3}{4};\\ & S_4=S_3+\arctg\frac{1}{32}=\arctg\frac{3}{4}+\arctg\frac{1}{32}=\arctg\frac{4}{5}. \end{aligned} [/dmath]
Гипотеза: [math]S_n=\arctg\frac{n}{n+1}[/math]. Докажем методом математической индукции. При [math]n=1[/math] равенство выполнено. Пусть при [math]n=k[/math] верно равенство [math]S_k=\arctg\frac{k}{k+1}[/math]. Для [math]n=k+1[/math] получим:
[dmath] S_{k+1} =S_k+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k}{k+1}+\arctg\frac{1}{2(k+1)^2} =\arctg\frac{k+1}{(k+1)+1}. [/dmath]
Гипотеза доказана, т.е. формула [math]S_n=\arctg\frac{n}{n+1}[/math] истинна.
[dmath] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\arctg\frac{n}{n+1} =\arctg{1} =\frac{\pi}{4}. [/dmath]
Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{\pi}{4}[/math].
Ответ
[math]S_n=\arctg\frac{n}{n+1}[/math], [math]S=\frac{\pi}{4}[/math].
