2735-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2735 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{9}+\frac{2}{225}+\ldots+\frac{n}{(2n-1)^2(2n+1)^2}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{n}{(2n-1)^2(2n+1)^2}=\frac{1}{8(2n-1)^2}-\frac{1}{8(2n+1)^2}[/math]. Частичная сумма ряда:

[math] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{8(2k-1)^2}-\frac{1}{8(2k+1)^2}\right)=\\ =\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}-\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k+1)^2} =\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}-\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{(2k-1)^2}=\\ =\frac{1}{8}\cdot\left(1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}\right)-\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2}\right) =\frac{1}{8}-\frac{1}{8(2n+1)^2}. [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{8(2n+1)^2}\right) =\frac{1}{8}. [/math]

Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{1}{8}[/math].

Ответ

[math]S_n=\frac{1}{8}-\frac{1}{8(2n+1)^2}[/math], [math]S=\frac{1}{8}[/math].