Задача №1728
Условие
Найти сумму \(n\) первых членов ряда \(\frac{1}{9}+\frac{2}{225}+\ldots+\frac{n}{(2n-1)^2(2n+1)^2}+\ldots\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{n}{(2n-1)^2(2n+1)^2}=\frac{1}{8(2n-1)^2}-\frac{1}{8(2n+1)^2}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{8(2k-1)^2}-\frac{1}{8(2k+1)^2}\right)=\\
=\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}-\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k+1)^2}
=\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}-\frac{1}{8}\cdot\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{(2k-1)^2}=\\
=\frac{1}{8}\cdot\left(1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}\right)-\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2}\right)
=\frac{1}{8}-\frac{1}{8(2n+1)^2}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{8(2n+1)^2}\right)
=\frac{1}{8}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\frac{1}{8}\).
Ответ:
\(S_n=\frac{1}{8}-\frac{1}{8(2n+1)^2}\), \(S=\frac{1}{8}\).