Задача №1727
Условие
Найти сумму \(n\) первых членов ряда \(\frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\ldots+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}+\ldots\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right)=\\
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)^2}
=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}=\\
=1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(n+1)^2}
=1-\frac{1}{(n+1)^2}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)
=1.
\]
Ряд сходится, его сумма равна 1.
Ответ:
\(S_n=1-\frac{1}{(n+1)^2}\), \(S=1\).