2734-1
Информация о задаче
Задача №2734 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\ldots+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}[/math]. Частичная сумма ряда:
[dmath] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)^2} =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}=\\ =1+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(n+1)^2} =1-\frac{1}{(n+1)^2}. [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right) =1. [/dmath]
Ряд сходится, его сумма равна 1.
Ответ
[math]S_n=1-\frac{1}{(n+1)^2}[/math], [math]S=1[/math].
