2733-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2733 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{5}{6}+\frac{13}{36}+\ldots+\frac{3^n+2^n}{6^n}[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{3^n+2^n}{6^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{1}{3}\right)^n[/math]. Частичная сумма ряда:

[math] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^k+\left(\frac{1}{3}\right)^k\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^k=\\ =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{3}\cdot\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}} =\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2\cdot{3^n}}. [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2\cdot{3^n}}\right) =\frac{3}{2}. [/math]

Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{3}{2}[/math].

Ответ

[math]S_n=\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2\cdot{3^n}}[/math], [math]S=\frac{3}{2}[/math].