Задача №1726
Условие
Найти сумму \(n\) первых членов ряда \(\frac{5}{6}+\frac{13}{36}+\ldots+\frac{3^n+2^n}{6^n}\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{3^n+2^n}{6^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{1}{3}\right)^n\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^k+\left(\frac{1}{3}\right)^k\right)
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^k=\\
=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{3}\cdot\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}
=\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2\cdot{3^n}}.
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2\cdot{3^n}}\right)
=\frac{3}{2}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\frac{3}{2}\).
Ответ:
\(S_n=\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2\cdot{3^n}}\), \(S=\frac{3}{2}\).