Задача №1725
Условие
Найти сумму \(n\) первых членов ряда \(\frac{1}{1\cdot{2}\cdot{3}}+\frac{1}{2\cdot{3}\cdot{4}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}+\ldots\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n+2}\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+2}\right)
=\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+2}=\\
=\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}=\\
=\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}\right)=\\
=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right).
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)\right)
=\frac{1}{4}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\frac{1}{4}\).
К слову, можно было решить данный пример и по-иному. Запишем общий член ряда в таком виде:
\[
u_n=\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}
=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)}=\\
=\frac{1}{2n(n+1)}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}
=\frac{-1}{2(n+1)(n+2)}-\frac{-1}{2n(n+1)}
\]
Таким образом, \(u_n=b_{n+1}-b_n\), где \(b_n=\frac{-1}{2n(n+1)}\). Так как \(b=\lim_{n\to\infty}b_n=0\), то получим:
\[
\begin{aligned}
& S_n=b_{n+1}-b_1=\frac{-1}{2(n+1)(n+2)}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}.\\
& S=b-b_1=\frac{1}{4}.
\end{aligned}
\]
Ответ:
\(S_n=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)\), \(S=\frac{1}{4}\).