2732-1
Информация о задаче
Задача №2732 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{2}\cdot{3}}+\frac{1}{2\cdot{3}\cdot{4}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n+2}[/math]. Частичная сумма ряда:
[dmath] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+2}\right) =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+2}=\\ =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}=\\ =\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}\right)=\\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right). \lt /math\gt \lt math\gt \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)\right) =\frac{1}{4}. [/dmath]
Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{1}{4}[/math].
К слову, можно было решить данный пример и по-иному. Запишем общий член ряда в таком виде:
[dmath] u_n=\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2n(n+1)}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)} =\frac{-1}{2(n+1)(n+2)}-\frac{-1}{2n(n+1)} [/dmath]
Таким образом, [math]u_n=b_{n+1}-b_n[/math], где [math]b_n=\frac{-1}{2n(n+1)}[/math]. Так как [math]b=\lim_{n\to\infty}b_n=0[/math], то получим:
[dmath] \begin{aligned} & S_n=b_{n+1}-b_1=\frac{-1}{2(n+1)(n+2)}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}.\\ & S=b-b_1=\frac{1}{4}. \end{aligned} [/dmath]
Ответ
[math]S_n=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)[/math], [math]S=\frac{1}{4}[/math].
