2731-1
Информация о задаче
Задача №2731 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{7}}+\frac{1}{3\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)[/math]. Частичная сумма ряда:
[dmath] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+5}\right)=\\ =\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5} =\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{2k-1}=\\ =\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{2k-1}-1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\\ =\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right) [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)\right) =\frac{23}{90}. [/dmath]
Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{23}{90}[/math].
Ответ
[math]S_n=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)[/math], [math]S=\frac{23}{90}[/math].
