Задача №1724
Условие
Найти сумму \(n\) первых членов ряда \(\frac{1}{1\cdot{7}}+\frac{1}{3\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}+\ldots\). Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: \(u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)\). Частичная сумма ряда:
\[
S_n
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+5}\right)=\\
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5}
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{2k-1}=\\
=\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{2k-1}-1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\\
=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)
\]
\[
\lim_{n\to\infty}S_n
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)\right)
=\frac{23}{90}.
\]
Ряд сходится, его сумма равна \(\frac{23}{90}\).
Ответ:
\(S_n=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)\), \(S=\frac{23}{90}\).