2730-1
Информация о задаче
Задача №2730 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{4}}+\frac{1}{2\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+3)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{n\cdot(n+3)}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)[/math]. Частичная сумма ряда:
[dmath] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3}\right) =\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+3} =\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{k}=\\ =\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)-\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\\ =\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right) =\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}. [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}\right) =\frac{11}{18}. [/dmath]
Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{11}{18}[/math].
Ответ
[math]S_n=\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}[/math], [math]S=\frac{11}{18}[/math].
