2728-1
Информация о задаче
Задача №2728 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{3}}+\frac{1}{3\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)[/math]. Частичная сумма ряда:
[dmath] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\\ =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k-1} =\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2n+1}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{2k-1}-1\right) =\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}. [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}\right) =\frac{1}{2}. [/dmath]
Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{1}{2}[/math].
Ответ
[math]S_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}[/math], [math]S=\frac{1}{2}[/math].
