2727-1
Информация о задаче
Задача №2727 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{2}}+\frac{1}{2\cdot{3}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+1)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
Решение
Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/math]. Частичная сумма ряда:
[dmath] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k} =\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-1\right) =1-\frac{1}{n+1}. [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right) =1. [/dmath]
Ряд сходится, его сумма равна 1.
Ответ
[math]S_n=1-\frac{1}{n+1}[/math], [math]S=1[/math].
