2721-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2721 раздела №5 "Ряды" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Определить области сходимости (абсолютной и условной) функционального ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\sin^n{x}}{n^2}[/math].

Решение

Общий член ряда: [math]u_n(x)=\frac{2^n\sin^n{x}}{n^2}[/math]. Отмечу, что функции [math]u_n(x)[/math] определены при всех [math]x\in{R}[/math].

Если [math]\sin{x}=0[/math], то [math]u_n(x)=0[/math], т.е. ряд будет абсолютно сходиться, и сумма его будет равна 0. Рассмотрим случай [math]\sin{x}\neq{0}[/math], т.е. [math]u_n(x)\neq{0}[/math]. Применим признак Д'Аламбера к ряду [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math]:

[math] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2^{n+1}\sin^{n+1}{x}}{(n+1)^2}\cdot\frac{n^2}{2^n\sin^n{x}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left(2|\sin{x}|\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2}\right) =2|\sin{x}| [/math]

Если [math]2|\sin{x}|\gt{1}[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] расходится. Если же [math]0\lt{2}|\sin{x}|\lt{1}[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] сходится, посему ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] сходится абсолютно.

Отдельно рассмотрим случай [math]2|\sin{x}|=1[/math], т.е. [math]|\sin{x}|=\frac{1}{2}[/math]. В этом случае будем иметь:

[dmath] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} [/dmath]

Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится, посему ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] при [math]|\sin{x}|=\frac{1}{2}[/math] сходится абсолютно.

Таким образом, область абсолютной сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] определяется совокупностью условий:

[dmath] \left[\begin{aligned} & \sin{x}=0;\\ & 0\lt{2}|\sin{x}|\lt{1};\\ & |\sin{x}|=\frac{1}{2}. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow |\sin{x}|\le\frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{\pi}{6}+\pi{n}\le{x}\le\frac{\pi}{6}+\pi{n};\;n\in{Z} [/dmath]

Итак, область абсолютной сходимости такова: [math]\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left[-\frac{\pi}{6}+\pi{n};\frac{\pi}{6}+\pi{n}\right][/math].

Отмечу, что неравенство [math]-\frac{\pi}{6}+\pi{n}\le{x}\le\frac{\pi}{6}+\pi{n}[/math] можно записать и в такой форме:

[dmath] -\frac{\pi}{6}+\pi{n}\le{x}\le\frac{\pi}{6}+\pi{n} \Leftrightarrow -\frac{\pi}{6}\le{x-\pi{n}}\le\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow |x-\pi{n}|\le\frac{\pi}{6} [/dmath]

Ответ

Ряд сходится абсолютно при [math]x\in\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left[-\frac{\pi}{6}+\pi{n};\frac{\pi}{6}+\pi{n}\right][/math].