Задача №1718
Условие
Доказать, что дуга параболы \(y=\frac{1}{2p}x^2\), соответствующая интервалу \(0\le{x}\le{a}\), имеет ту же длину, что и дуга спирали \(\rho=p\varphi\), соответствующая интервалу \(0\le{\rho}\le{a}\).
Решение
При решении учитываем, что \(p\gt{0}\). Обозначим дугу параболы как \(L_1\), а дугу спирали как \(L_2\).
Из условия \(0\le{\rho}\le{a}\) имеем \(0\le{p\varphi}\le{a}\), \(0\le{\varphi}\le\frac{a}{p}\).
\[
\begin{aligned}
& L_1=\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx=\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1+\frac{x^2}{p^2}}dx\\
& L_2=\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}\sqrt{\rho^2+\left(\rho'\right)^2}d\varphi=\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}\sqrt{p^2\varphi^2+p^2}d\varphi
\end{aligned}
\]
Докажем, что \(L_1=L_2\). Осуществляя замену переменной, получим:
\[
L_1
=\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1+\frac{x^2}{p^2}}dx
=\left[\begin{aligned}
& x=p\varphi;\;dx=pd\varphi.\\
& \begin{array} {c|c|c} x & 0 & a \\ \hline \varphi & 0 & \frac{a}{p} \end{array}
\end{aligned}\right]
=\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}p\sqrt{1+\varphi^2}d\varphi
=\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}\sqrt{p^2\varphi^2+p^2}d\varphi
=L_2
\]
Ответ:
Утверждение доказано.