2544-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2544 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать, что дуга параболы [math]y=\frac{1}{2p}x^2[/math], соответствующая интервалу [math]0\le{x}\le{a}[/math], имеет ту же длину, что и дуга спирали [math]\rho=p\varphi[/math], соответствующая интервалу [math]0\le{\rho}\le{a}[/math].

Решение

При решении учитываем, что [math]p\gt{0}[/math]. Обозначим дугу параболы как [math]L_1[/math], а дугу спирали как [math]L_2[/math].

Из условия [math]0\le{\rho}\le{a}[/math] имеем [math]0\le{p\varphi}\le{a}[/math], [math]0\le{\varphi}\le\frac{a}{p}[/math].

[dmath] \begin{aligned} & L_1=\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx=\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1+\frac{x^2}{p^2}}dx\\ & L_2=\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}\sqrt{\rho^2+\left(\rho'\right)^2}d\varphi=\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}\sqrt{p^2\varphi^2+p^2}d\varphi \end{aligned} [/dmath]

Докажем, что [math]L_1=L_2[/math]. Осуществляя замену переменной, получим:

[math] L_1 =\int\limits_{0}^{a}\sqrt{1+\frac{x^2}{p^2}}dx =\left[\begin{aligned} & x=p\varphi;\;dx=pd\varphi.\\ & \begin{array} {c|c|c} x & 0 & a \\ \hline \varphi & 0 & \frac{a}{p} \end{array} \end{aligned}\right] =\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}p\sqrt{1+\varphi^2}d\varphi =\int\limits_{0}^{\frac{a}{p}}\sqrt{p^2\varphi^2+p^2}d\varphi =L_2 [/math]

Ответ

Утверждение доказано.